2024年09月24日

FFT 快速傅里叶变换


 

什么是 FFT 快速傅里叶变换？

FFT 快速傅里叶变换是一种用于更高效地计算离散傅里叶变换 (DFT) 及其逆变换的算法。DFT 是一种用于信号处理和图像处理等许多领域的变换，用于将离散信号转换为其频域表示。FFT 加快了 DFT 的计算过程，使其可用于实时应用和大型数据集。

谁发明了 FFT？

FFT 是由 James W. Cooley 和 John W. Tukey 于 1965 年共同发现的。虽然该算法无疑是一项突破，但应该指出的是，它的许多基础思想已经存在了一段时间，但 Cooley 和 Tukey 的工作使其在数字时代脱颖而出，尤其是随着数字计算的兴起。他们的算法版本大大降低了处理大型数据集的计算复杂性，使数字信号处理更加可行和高效。

fft 快速傅里叶变换

快速傅里叶变换（FFT）算法的优势是什么？

FFT 是一种优化算法，旨在快速计算离散傅里叶变换 (DFT) 及其逆变换。FFT 的优势在于其效率。直接计算 DFT 需要 O(N^2) 次运算（二次时间），而 FFT 算法允许在 O(N log N) 次运算中完成相同的计算，这对于大型数据集来说是一个显著的速度提升。

为什么要使用FFT？

FFT（快速傅立叶变换）算法应用范围广泛，因为它可以将信号从时域转换为频域，反之亦然。了解信号的频率成分可以深入了解信号的性质、行为和属性。

 

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FFT方程是什么？

FFT 是一种高效计算 DFT 的算法，因此其方程与 DFT 方程相同。但值得注意的是，FFT 算法有很多种（例如基数 2、分裂基数等），每种算法都有各自的具体步骤和复杂性。

FFT算法

什么是 DFT？

DFT 离散傅里叶变换是一种强大的数学工具，用于将离散的周期性信号从时域表示转换为频域表示。这样可以在频域中进行分析和操作，然后再使用逆 DFT 转换回时域。FFT 可以高效计算 DFT，其定义为长度为N的序列x [ n ] ：

FFT快速傅里叶变换公式

在哪里：

  • X [ k ]是频域表示的第k个元素。
  • x [ n ] 是时域信号的第 n 个元素。

e是自然对数的底数（约等于 2.71828）。

  • j是虚数单位（满足 j 2 =−1）。
fft应用程序

什么是 FFT 应用？

FFT有很多应用：

  • 应用力学 （如结构动力学、飞机机翼颤振抑制、机械动力学诊断、核电站建模、 振动分析）
  • 声音和声学（例如声学成像、被动声纳、超声波换能器、阵列处理、建筑声学测量、音乐合成）
  • 生物医学工程（例如 气道阻塞诊断、肌肉疲劳监测、心脏瓣膜损伤评估、组织结构表征、胃部疾病调查、心脏病患者诊断、脑电图数据压缩、动脉动力学研究）
  • 数值方法 （例如高速插值、共轭梯度法、边界值问题、Riccati 和 Dirichlet 方程、Rayleigh 积分、Wiener-Hopf 积分方程、扩散方程、数值积分、Karhunen-Loeve 变换、椭圆微分方程）
  • 信号处理 （例如匹配滤波器、反卷积、实时频谱分析、倒谱分析、相干函数估计、语音合成和识别、随机过程生成、传递函数估计、回声/混响消除）
  • 仪器仪表 （例如色谱法、显微镜法、光谱法、X射线衍射法、心电图法）
  • 雷达 （截面测量、移动目标指示器、合成孔径、多普勒处理器、脉冲压缩、杂波抑制）
  • 电磁学 （微带线传播、导体散射、天线辐射模式、介电基板电容、相控阵天线分析、时域反射仪、波导分析、网络分析）
  • 通信 （系统分析、复用器、解调器、语音扰频系统、多通道滤波、M 进制信令、信号检测、高速数字滤波器、语音编码系统、视频带宽压缩）
  • 杂项 （例如磁力仪、冶金学、电力系统、图像恢复、非线性系统分析、地球物理学、GaAs FET 瞬态响应、集成电路建模、质量控制）

使用FFT有什么好处？

在各种应用中使用 FFT 有许多好处：

  1. 信号分析：通过将时域信号转换为其频率分量，用户可以识别信号中存在的主导频率，检测任何不需要的噪声或分析谐波。
  2. 降噪：在音频或图像处理中，可以通过操纵频率分量并将信号转换回时间域来识别和去除不需要的频率（噪音）。
  3. 压缩：在数字信号处理中，有时可以通过仅保留最重要的频率来压缩信号的频率表示，这在图像和音频压缩技术中特别有用。
  4. 滤波器设计和实现：滤波器可以在频域中更有效地设计和实现。通过将信号转换为其频率表示，可以放大、衰减或消除某些频率分量，然后将其转换回时域。
  5. 卷积：时域中的卷积是频域中的乘法。对于长信号，使用 FFT 计算卷积（通过转换为频域、乘法，然后转换回来）比直接进行时域卷积更快。
  6. 频谱分析：在天文学、地质学和海洋学等领域，分析信号的频率成分可以深入了解物理现象。
  7. 结构分析：在土木工程中，FFT 可用于分析结构的振动响应，帮助工程师检测可能对结构有害的共振频率。
  8. 电信：FFT 用于调制传输信号并在接收时解调信号。
  9. 音频处理： FFT 通过分析和处理频域中的信号来帮助实现均衡、混响、音高校正和许多其他音频效果。
  10. 医学成像：在 MRI（磁共振成像）中，FFT 用于将从身体接收到的信号转换为图像。

FFT 和傅里叶变换有什么区别？

傅里叶变换是一个更广泛的数学概念，用于在时间（或空间）和频域之间转换信号，快速傅里叶变换是一种特定的、优化的算法，用于以更快的方式计算 DFT（FT 的采样版本）。

傅里叶变换如何工作？

傅里叶变换将波形分解为不同频率的正弦波之和。这意味着傅里叶变换表示与原始波形相同的信息，只是在频域（而不是时域）中。傅里叶变换分析方法对于许多工程和科学领域中有效解决问题至关重要。从视觉上看，傅里叶变换由指示每个正弦波的幅度和频率的图表表示。下面的等式表示连续时间傅里叶变换。该等式捕捉了如何将任何连续时间信号表示为所有可能频率的正弦波之和（积分）：

连续傅里叶变换方程

在哪里：

  • S ( f )表示s ( t )的傅里叶变换。
  • e是自然对数的底数。
  • j是虚数单位（j 2 =−1）。

FFT 是实时完成的还是后期处理？

快速傅里叶变换 (FFT) 既可应用于实时环境，也可应用于后处理环境。两者的区别主要取决于应用和当前任务的具体要求。

  • 实时 FFT：
    • 应用：实时 FFT 用于需要即时频域信息的应用。例如实时频谱分析仪、音频效果处理（如实时均衡器）、某些电信应用和主动噪声控制。
    • 挑战：实时执行 FFT 需要快速硬件和优化算法，尤其是在数据速率高或 FFT 大小较大的情况下。延迟可能是实时应用中的关键因素，因此系统必须设计为在时间限制内处理数据。
    • 优点：实时处理可以提供即时反馈，这在某些应用中至关重要，例如音频处理、实时监控系统或主动控制系统。
  • 后处理 FFT：
    • 应用：后处理通常在不需要立即使用转换后的数据或需要进行更复杂、计算密集型的分析时使用。示例包括机械振动分析（随时间收集数据然后进行分析）、研究和某些图像处理任务。
    • 挑战：虽然可能没有与实时处理相同的时间限制，但后处理可能涉及处理大型数据集，需要高效的存储和检索机制。
    • 优点：不受时间限制，可以进行更详细或更全面的分析。可以根据需要使用不同的参数、算法或模型重新分析数据。

如何测量FFT？

测量 FFT（快速傅立叶变换）需要捕获时域信号，然后将其转换为频域以分析其频率分量。以下是有关如何测量 FFT 的基本分步指南：

  1. 信号采集：
    • 输入信号：确保感兴趣的信号（无论来自麦克风、振动传感器还是任何其他来源）都可以进行测量。
    • 采样：使用模拟数字转换器 (ADC) 对信号进行数字采样。采样率应至少为信号中最高频率分量的两倍（根据奈奎斯特定理），以避免混叠。
  2. 窗口（可选但推荐）：
    • 在应用 FFT 之前，对时域信号应用窗口函数通常是一个好主意。这可以最大限度地减少频谱泄漏，频谱泄漏可能是由于采样信号的长度有限而发生的。常见的窗口函数包括 Hanning、Hamming、Blackman 和 Kaiser。
  3. 应用FFT算法：
    • 使用专用硬件（如数字信号处理器）或软件（如 MATLAB、Python 的 numpy 库或其他 FFT 库），将窗口时域信号转换到频域。
  4. 分析结果：
    • FFT 的输出将是一个复数阵列，包含幅度和相位信息。对于许多应用来说，我们只关心幅度。
    • 幅度谱将显示信号频率成分的幅度。
    • 您可以通过识别幅度谱中的峰值来确定信号中的主导频率。
  5. 分辨率和尺寸：
    • FFT 的频率分辨率由采样率除以 FFT 中的点数决定。例如，如果您以 1kHz 采样信号并使用 1,000 点 FFT，则频率分辨率为 1Hz。
    • 使用更大的 FFT 尺寸将为您提供更好的频率分辨率，但需要更多的计算。
  6. 逆FFT（IFFT）：
    • 如果需要，您可以使用逆快速傅里叶变换 (IFFT) 将频域数据转换回时域。
  7. 可视化：
    • 使用软件或专用显示硬件显示频谱。可视化有助于理解频率分量及其各自的幅度。
  8. 记录或保存数据（如有必要）：
    • 根据应用程序的不同，您可能需要记录或保存频率数据以供进一步分析或记录。
  9. 后期处理：
    • 根据应用情况，可能需要进一步处理，如滤波、频谱平均或谐波分析。

什么是 FFT 设备和工具？

为了测量 FFT，您可能使用各种设备和工具：

  • 具有 FFT 功能的数字示波器。
  • 专用频谱分析仪，例如 Svantek
  • 带有用于 FFT 分析的软件工具的数据采集系统。
  • 用于数据分析的软件工具，例如 MATLAB、LabVIEW 或基于 Python 的工具。
什么是FFT分析仪

什么是FFT分析仪？

FFT 分析仪（即快速傅立叶变换分析仪）是一种提供信号频率分析的设备，常用于音频、振动研究和各种其他应用。它使用 FFT 算法将信号从其原始时域转换为频域。以下是 FFT 分析仪功能的更详细分解：

  1. 时域到频域转换：FFT 分析仪的主要功能是获取时域信号（如音频记录）并将其转换为频域表示。这样用户便可看到信号中存在哪些频率以及强度如何。
  2. 分辨率：FFT 分析仪提供频谱视图，其中信号以其组成频率表示。此频谱的分辨率可能因设置而异，尤其是 FFT 点或“线”的数量。
  3. 滤波和加权：大多数 FFT 分析仪允许用户对输入信号应用不同的滤波器和权重。这在音频分析等应用中尤其重要，在这些应用中，可以应用 A、B、C 或 Z 加权滤波器来模拟人耳对不同频率的响应。
  4. 窗口化：为了减轻处理有限数据块的影响（这可能会在频率分析中引入伪影），FFT 分析仪使用各种窗口函数，如 Hanning、Rectangle、Flat Top 或 Kaiser-Bessel。
  5. 应用：FFT 分析仪用于各种领域，包括声学（分析声音或噪声信号）、振动分析（确定结构或机器可能产生共振的频率）和电信（分析信号的频率内容）。
  6. 实时分析：现代 FFT 分析仪可以提供实时频率分析，让用户可以查看信号随时间变化的频率内容。
  7. 硬件和软件：FFT 分析仪可以是独立的硬件设备，通常具有专门的输入电路来处理各种类型的信号。它们也可以是在标准计算机上运行的软件应用程序，使用来自声卡或其他输入设备的数字化输入。

什么是频谱泄漏？

频谱泄漏是一种会使 FFT 分析结果产生偏差的现象。执行 FFT 时，固有假设是时间记录中的信号无限重复。但是，如果该记录中信号的周期数不是整数（非整数），则此假设不成立。假设的重复次数与实际信号之间的差异可能导致频谱泄漏。频谱泄漏会使特定频率的能量在相邻的频率线或区间中混杂，从而降低结果的准确性。

抗混叠和奈奎斯特频率与 FFT 有何关系？

在采样信号和执行 FFT（快速傅里叶变换）分析时，抗混叠和奈奎斯特频率都是需要理解的关键概念：

  • 奈奎斯特频率定义了可以准确采样并随后重建的最大频率。要捕获信号的所有细节，必须至少对该信号中存在的最高频率进行两倍的采样。
  • 抗混叠是一种防止在采样数据中将高频错误地表示为低频的技术。抗混叠滤波器可确保采样信号中仅存在低于奈奎斯特频率的频率，从而在 FFT 和其他数字信号处理技术中保护信号频率内容的完整性。

为什么奈奎斯特频率很重要？

当对连续信号进行采样以获得离散信号进行数字处理（如 FFT）时，奈奎斯特定理（或香农-奈奎斯特采样定理）指出，采样频率必须至少是信号中最高频率的两倍，才能完全表示并在之后重建原始连续信号而不丢失任何信息。信号中允许的最高频率是采样率的一半，即奈奎斯特频率。从数学上讲，如果f S​ 是采样频率，则奈奎斯特频率 f N​ 为：f N ​= f S / 2

抗锯齿如何发挥作用？

为了防止混叠，采用了抗混叠滤波器。该滤波器是在采样之前应用于信号的模拟低通滤波器。其目的是衰减或消除信号中高于奈奎斯特频率的频率，从而确保信号的采样版本不包含误导性的频率信息。通过这样做，它确保信号的离散版本是奈奎斯特频率以下连续信号的真实表示。

在 FFT 中：对采样数据执行 FFT 时，如果数据采样不正确（即采样率不够高）或未应用适当的抗混叠滤波器，则生成的频谱可能包含混叠频率。这可能导致对信号频率内容的解读不正确或误导。

FFT 频谱的平均

在 FFT 环境中平均用于增强信噪比并提供更准确的频谱表示，特别是在分析噪声或音乐等非周期性信号时。

  1. 经典平均值：正如文中所述，捕获一定数量的 FFT，然后取平均值。每个 FFT 结果对最终的平均频谱的贡献相同。此方法特别适用于信号具有定义的持续时间并且目标是获得该持续时间的平均表示的情况。
  2. 指数平均值：这是一种“加权”平均值，其中最近的 FFT 结果对平均值的影响大于旧结果。正如文本所解释的那样，最近的测量对平均值的贡献最大，而旧测量的影响则逐渐减小。这在长期监测频谱时特别有用，因为最近的数据可能比旧数据更符合当前状态。

什么是 FFT 音频？

应用于音频的 FFT（快速傅立叶变换）是指将音频信号从时域转换为频域的过程。通过这种转换，我们可以在任何给定时间看到音频信号中存在的各种频率分量（低音、中音、高音等）。例如，在分析一段音乐时，FFT 会分解信号以显示每个频率上存在多少能量。这可以同时显示低音鼓的低频砰砰声、吉他的中频音调和钹的高频嘶嘶声。

FFT 音频分析仪 

FFT 音频分析仪是一种将 FFT 应用于音频信号的工具或设备，可让用户直观地看到信号的频率内容。这种可视化通常采用频谱的形式，其中 x 轴表示频率（从低到高），y 轴表示幅度（通常采用对数刻度，如 dB）。FFT 音频分析仪用于各种应用：

  • 声学：工程师可以分析房间的频率响应并据此设计声学处理。
  • 音频设备测试：制造商可以测试其设备（例如扬声器和麦克风）的频率响应。
  • 噪音分析：专业人员可以精确定位和测量各种环境中（从工厂到安静的房间）的不需要的噪音。
  • 语音分析：研究语音中的频率模式可用于语言学和言语治疗等领域。

人类听觉和 FFT  音频

人类的听力范围通常被认为是 20 Hz 至 20,000 Hz（或 20 kHz）。因此，当使用 FFT 音频分析仪分析供人类使用的音频信号（如音乐或语音）时，频谱通常会集中在这个范围内。值得注意的是，虽然我们可以听到这个范围内的声音，但我们对频率的敏感度并不统一。人类对 2 kHz 至 4 kHz 之间的频率最敏感，对极低和极高的频率不太敏感。FFT 音频分析仪将根据信号中的实际能量来表示所有频率，而不是人类对它们的感知。

使用FFT窗口的重要性

在执行基于 FFT 的测量时，使用窗口至关重要。窗口有助于缓解 FFT 的性质和被分析信号的属性所固有的某些问题。窗口函数是一种数学函数，应用于信号以减轻频谱泄漏的影响。不同的窗口具有不同的属性，窗口的选择会影响 FFT 分析的结果。文中提到了三种特定类型的窗口：

  • 均匀（无）：这本质上是一个矩形窗口，不应用任何窗口函数。
  • Hanning（或 Hann）：这是一种常用的窗口，属于余弦窗口类型。它有助于减少频谱泄漏。
  • 平顶：此窗口提供非常精确的幅度测量，但具有更宽的主频瓣。

不同的窗口适用于不同的场景。

  • 对于宽信号频谱，Uniform 窗口是理想的选择。在许多情况下，Hann 窗口提供了良好的平衡。
  • 平顶窗口的幅度准确，但频率分辨率较差。
  • 对于瞬态信号，最好使用像 Force 和 Exponential 这样的专门窗口。
使用fft窗口的重要性

Svantek 仪器中的 FFT

Svantek 仪器中的 FFT 使用户能够了解他们正在测量的声音或振动的频率成分。这对于各种应用都至关重要，包括噪声和振动评估、故障排除等。在 Svantek 仪器中，FFT（快速傅里叶变换）是一种计算算法，可将信号从其原始域（时间域）转换为其组成频率。它提供了一种分析信号不同频率成分的方法，有助于详细了解声音或振动测量的特征。Svantek 仪器中的 FFT 功能与其电平表配合使用，并可在专用频谱视图中将结果显示为频谱。

  1. 操作与显示：
    • Svantek 仪器可以作为 FFT 分析仪运行，其方式类似于其电平计功能。
    • FFT 分析与 SLM（声级计）或 VLM（振动级计）测量同时进行。
    • FFT 分析的结果（称为频谱）显示在频谱视图中。此视图允许用户借助垂直光标读取频谱值。
  2. 配置：
    • 用户可以配置 FFT 分析的各种参数。其中包括选择频带、设置预加权滤波器、选择特定加权窗口、确定分析线数量以及决定平均类型。
    • FFT 频谱可以在指定的积分周期内取平均值，并根据重复周期参数保存。
    • FFT 的测量范围可以设置为低或高，在振动模式下，结果可以以绝对单位或对数单位显示。
  3. 记录：
    • 该仪器支持在记录器文件中记录 FFT 频谱。这可以按照积分周期或记录器步骤定义的步骤进行。
    • 要记录 FFT 频谱，必须在仪器中启用记录功能。
  4. 显示模式和演示：
    • 该仪器为 FFT 结果提供了多种显示设置，允许用户在不同视图之间切换，例如瞬时、平均、最大或最小光谱。
    • 对于在振动模式下使用该仪器的用户，他们可以选择要显示的振动频谱类型，其中包括加速度、速度或位移等选项。
  5. 工具：
    • 显示模式中的频谱位置可启用或禁用频谱图的视图。
    • 用户还可以设置光谱图的比例，定义结果单位（线性或对数）并调整垂直轴。

Svantek FFT 的应用

Svantek 的 FFT 功能适用于声学和振动分析，使其仪器适用于从环境噪声研究到工业机器监控的各种应用：

  1. 声级测量：Svantek 仪器与声级计 (SLM) 或振动级计 (VLM) 测量同时执行 FFT 分析，使用户能够获得有关声音或振动信号的详细频率信息以及整体级测量。
  2. 振动分析：Svantek 仪器中的 FFT 功能可用于振动模式，用户可以在加速度、速度或位移等不同表示之间切换。这使其适合分析机器、结构或其他系统的振动特性。
  3. 建筑振动：根据 DIN 4150-3 使用 FFT 来指示峰值粒子速度的主频率 
  4. 声学分析：通过各种可用的加权滤波器（如 A、B、C 和 Z 加权），Svantek 仪器中的 FFT 功能可用于详细的声学分析。
  5. 频谱视图：仪器提供 FFT 分析结果的频谱视图。这使用户可以直观地检查所分析信号的频率成分并了解其相对幅度。
  6. 记录：FFT 频谱可以记录在记录器文件中，这使其适用于需要长期监控和数据记录的应用。这在环境噪声研究、工业监控或任何需要关注随时间变化的趋势的场景中尤其有用。
  7. 频带分析：用户可以选择特定频带进行 FFT 分析，范围从 20 kHz 到 78 Hz。这为放大感兴趣的特定频率范围提供了灵活性。
  8. 可配置以满足不同的分析需求：通过配置频带、预加权滤波器、加权窗口、线数和平均类型等参数的选项，Svantek FFT 功能可针对各种专门应用进行定制。
svantek 仪器中的 fft

建筑振动中的 FFT 方法

德国标准 DIN 4150-3 描述了建筑振动中的 FFT 方法  。该方法需要对峰值粒子速度 (PPV) 进行 FFT 分析，将 FFT 窗口的中间精确放置在 PPV 上。这种分析的结果是每个轴 (X、Y、Z) 的 PPV 值及其对应的主频率 (DF)。每对 PPV 及其 DF 都用作与极限曲线进行比较的点坐标。

 

 

 

FFT 快速傅里叶变换：关键要点：

 

  1. FFT快速傅里叶变换是一种高效计算DFT及其逆的算法。
  2. DFT 用于将信号转换为其频域表示。
  3. FFT 加速了 DFT 计算，支持实时应用和大型数据集。
  4. FFT 由 Cooley 和 Tukey 于 1965 年共同发现，彻底改变了数字信号处理。
  5. FFT 应用涵盖力学、声学、生物医学工程、信号处理、仪器仪表、通信等。
  6. 使用 FFT 的好处包括信号分析、降噪、压缩、滤波器设计等。
  7. FFT 将信号从时域转换为频域，反之亦然。
  8. 奈奎斯特频率对于精确采样至关重要，而抗混叠可以防止采样数据出现错误。
  9. 根据应用情况，FFT 可以实时执行或后期处理。
  10. FFT 频谱的平均化可增强非周期信号的信噪比。
  11. 不同的窗口（均匀、汉宁、平顶）有助于减轻 FFT 分析中的频谱泄漏。
  12. Svantek Instruments 利用 FFT 在各种应用中进行声音和振动分析。

 

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